x=?

Gleichungen – üben für die Abschlussprüfung

Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten: Äquivalenzumformungen, Klammern, Brüche, binomische Formeln, Anzahl der Lösungen, Probe und Textaufgaben.

Spickzettel

Lineare Gleichungen von einfachen Gleichungen mit einem Schritt bis zu Gleichungen mit Klammern, Brüchen und der Unbekannten im Nenner, Probe, Anzahl der Lösungen und Textaufgaben mit Gleichungen.

Gleichungen lösen ist eine Kernkompetenz für den Mittleren Schulabschluss – im Teil ohne Hilfsmittel als Rechnung, im Teil mit Taschenrechner meist als Textaufgabe, bei der man die Gleichung selbst aufstellen muss.

Was man hier übt

1. Einfache Gleichungen

2. Unbekannte auf beiden Seiten

3. Klammern

4. Brüche und Anzahl der Lösungen

5. Prüfungsniveau

6. Erweiterung (über die Prüfung hinaus)

Unbekannte im Nenner

Was Sie aus diesem Bereich für die Abschlussprüfung brauchen

Äquivalenzumformungen: auf beiden Seiten dasselbe tun.
Klammern auflösen (Minus vor der Klammer!) und gleichartige Glieder zusammenfassen.
Brüche durch Multiplizieren mit dem Hauptnenner beseitigen.
Textaufgaben in eine Gleichung übersetzen und am Ende die Probe machen.

Typische Fehler

Beim Auflösen einer Klammer mit Minus wird nur das erste Vorzeichen geändert.
Beim Multiplizieren mit dem Hauptnenner wird ein Glied ohne Bruch vergessen.
Beim Seitenwechsel ändert sich das Vorzeichen nicht.

Gelöste Aufgabe: Textaufgaben mit Gleichungen

Textaufgabe – löse mit einer Gleichung.

Ein Drittel einer Zahl, vermehrt um 5, ist gleich der Hälfte dieser Zahl. Wie heißt die Zahl?

Lösung Schritt für Schritt

1Wir legen die Unbekannte fest

x … gesuchte Zahl

TippDie Unbekannte wählen wir so, dass sich die übrigen Angaben leicht mit x ausdrücken lassen.
2Wir stellen die Gleichung auf

x/3+5=x/2
3Brüche beseitigen

x/3+5=x/2| · 6
Der Hauptnenner ist 6. Wir multiplizieren beide Seiten mit 6.
x/3·6=2x
5·6=30
x/2·6=3x

2x+30=3x

TippWir multiplizieren JEDEN Summanden auf beiden Seiten – auch den, der keinen Bruch hat.
4Terme mit x auf eine Seite bringen

2x+30=3x| − 3x − 30
Die Terme mit x bringen wir auf die linke Seite, die Zahlen auf die rechte (auf beiden Seiten dasselbe addieren/subtrahieren).

2x−3x=−30

TippEin Term, den wir auf die andere Seite der Gleichung bringen, ändert sein Vorzeichen.
5Zusammenfassen

Linke Seite:2x−3x=−x

−x=−30
6Durch den Koeffizienten von x dividieren

−x=−30| · (−1)
Wir multiplizieren beide Seiten mit −1 (Vorzeichen umkehren).
x=30

x=30

TippWir dividieren beide Seiten durch dieselbe Zahl ungleich null – die Gleichung bleibt gültig. Beim Dividieren durch eine negative Zahl auf das Vorzeichen des Ergebnisses achten.
7Antwort und Probe am Text

Es ist die Zahl 30. Probe: 30 : 3 + 5 = 15 und 30 : 2 = 15 ✓

TippDie Probe machen wir durch Einsetzen in den TEXT der Aufgabe – so prüfen wir auch, ob wir die Gleichung richtig aufgestellt haben.

Ergebnis: 30

Weitere gelöste Aufgaben – Textaufgaben mit Gleichungen