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Gemischte Gleichungen

Gleichungen · Stufe 5 – Prüfungsniveau

Brüche, Dezimalzahlen, Klammern und binomische Formeln in einer Gleichung.

Unten finden Sie Beispielaufgaben mit dem ganzen Rechenweg. Neue Aufgaben dieses Typs erstellt Ihnen die Anwendung unbegrenzt – mit Ergebniskontrolle, Rechenweg Schritt für Schritt und Druckversion.

10 Aufgaben üben Spickzettel – Gleichungen

Aufgabe 1

Löse die Gleichung und mache die Probe.

0,5(x−2)=x+6/4
Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Brüche und Dezimalzahlen beseitigen
    0,5(x−2)=x+6/4| · 20
    Wir beseitigen Brüche und Dezimalzahlen: Wir multiplizieren beide Seiten mit 20.
    0,5(x−2)·20=10(x−2)
    x+6/4·20=5(x+6)
    10(x−2)=5(x+6)
    TippWir multiplizieren JEDEN Summanden auf beiden Seiten – auch den, der weder Bruch noch Dezimalzahl hat.
  2. 2Klammern ausmultiplizieren
    10(x−2)=10x−20
    5(x+6)=5x+30
    10x−20=5x+30
    TippMit der Zahl vor der Klammer multiplizieren wir JEDEN Summanden in der Klammer.
  3. 3Terme mit x auf eine Seite bringen
    10x−20=5x+30| − 5x + 20
    Die Terme mit x bringen wir auf die linke Seite, die Zahlen auf die rechte (auf beiden Seiten dasselbe addieren/subtrahieren).
    10x−5x=30+20
    TippEin Term, den wir auf die andere Seite der Gleichung bringen, ändert sein Vorzeichen.
  4. 4Zusammenfassen
    Linke Seite:10x−5x=5x
    Rechte Seite:30+20=50
    5x=50
  5. 5Durch den Koeffizienten von x dividieren
    5x=50| : 5
    Wir dividieren beide Seiten durch 5 (den Koeffizienten von x).
    x=50/5=10
    x=10
    TippWir dividieren beide Seiten durch dieselbe Zahl ungleich null – die Gleichung bleibt gültig.
  6. 6Probe
    Wir setzen x =10in die ursprüngliche Gleichung ein:
    Linke Seite: L =0,5·(10−2)=0,5·8=4
    Rechte Seite: R =10+6/4=16/4=4
    L = R, die Lösung ist richtig ✓
    TippDie Probe macht man durch Einsetzen in die URSPRÜNGLICHE Gleichung, nicht in die umgeformte.
Ergebnis: x=10

Aufgabe 2

Löse die Gleichung und mache die Probe.

x/3−0,5(x−4)=3
Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Brüche und Dezimalzahlen beseitigen
    x/3−0,5(x−4)=3| · 30
    Wir beseitigen Brüche und Dezimalzahlen: Wir multiplizieren beide Seiten mit 30.
    x/3·30=10x
    −0,5(x−4)·30=−15(x−4)
    3·30=90
    10x−15(x−4)=90
    TippWir multiplizieren JEDEN Summanden auf beiden Seiten – auch den, der weder Bruch noch Dezimalzahl hat.
  2. 2Klammern ausmultiplizieren
    −15(x−4)=−15x+60
    10x−15x+60=90
    TippEin Minus vor der Klammer ändert das Vorzeichen aller Summanden in der Klammer.
  3. 3Gleichartige Terme auf jeder Seite zusammenfassen
    Linke Seite:10x−15x+60=−5x+60
    −5x+60=90
    TippWir addieren nur gleichartige Terme: x mit x, Zahlen mit Zahlen.
  4. 4Terme mit x auf eine Seite bringen
    −5x+60=90| − 60
    Die Terme mit x bringen wir auf die linke Seite, die Zahlen auf die rechte (auf beiden Seiten dasselbe addieren/subtrahieren).
    −5x=90−60
    TippEin Term, den wir auf die andere Seite der Gleichung bringen, ändert sein Vorzeichen.
  5. 5Zusammenfassen
    Rechte Seite:90−60=30
    −5x=30
  6. 6Durch den Koeffizienten von x dividieren
    −5x=30| : (−5)
    Wir dividieren beide Seiten durch −5 (den Koeffizienten von x).
    x=30/(−5)=−6
    x=−6
    TippWir dividieren beide Seiten durch dieselbe Zahl ungleich null – die Gleichung bleibt gültig. Beim Dividieren durch eine negative Zahl auf das Vorzeichen des Ergebnisses achten.
  7. 7Probe
    Wir setzen x =−6in die ursprüngliche Gleichung ein:
    Linke Seite: L =−6/3−0,5·(−6−4)=−2−0,5·(−6−4)=−2−0,5·(−10)=−2−(−5)=3
    Rechte Seite: R =3
    L = R, die Lösung ist richtig ✓
    TippDie Probe macht man durch Einsetzen in die URSPRÜNGLICHE Gleichung, nicht in die umgeformte.
Ergebnis: x=−6

Aufgabe 3

Löse die Gleichung und mache die Probe.

3x−3/6−x+2/4=−4
Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Brüche beseitigen
    3x−3/6−x+2/4=−4| · 12
    Der Hauptnenner ist 12. Wir multiplizieren beide Seiten mit 12.
    3x−3/6·12=2(3x−3)
    −x+2/4·12=−3(x+2)
    −4·12=−48
    2(3x−3)−3(x+2)=−48
    TippWir multiplizieren JEDEN Summanden auf beiden Seiten – auch den, der keinen Bruch hat.
  2. 2Klammern ausmultiplizieren
    2(3x−3)=6x−6
    −3(x+2)=−3x−6
    6x−6−3x−6=−48
    TippEin Minus vor der Klammer ändert das Vorzeichen aller Summanden in der Klammer.
  3. 3Gleichartige Terme auf jeder Seite zusammenfassen
    Linke Seite:6x−6−3x−6=3x−12
    3x−12=−48
    TippWir addieren nur gleichartige Terme: x mit x, Zahlen mit Zahlen.
  4. 4Terme mit x auf eine Seite bringen
    3x−12=−48| + 12
    Die Terme mit x bringen wir auf die linke Seite, die Zahlen auf die rechte (auf beiden Seiten dasselbe addieren/subtrahieren).
    3x=−48+12
    TippEin Term, den wir auf die andere Seite der Gleichung bringen, ändert sein Vorzeichen.
  5. 5Zusammenfassen
    Rechte Seite:−48+12=−36
    3x=−36
  6. 6Durch den Koeffizienten von x dividieren
    3x=−36| : 3
    Wir dividieren beide Seiten durch 3 (den Koeffizienten von x).
    x=−36/3=−12
    x=−12
    TippWir dividieren beide Seiten durch dieselbe Zahl ungleich null – die Gleichung bleibt gültig.
  7. 7Probe
    Wir setzen x =−12in die ursprüngliche Gleichung ein:
    Linke Seite: L =3·(−12)−3/6−−12+2/4=−36−3/6−−10/4=−36−3/6−(−5/2)=−39/6−(−5/2)=−13/2−(−5/2)=−4
    Rechte Seite: R =−4
    L = R, die Lösung ist richtig ✓
    TippDie Probe macht man durch Einsetzen in die URSPRÜNGLICHE Gleichung, nicht in die umgeformte.
Ergebnis: x=−12

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