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Gleichungen mit binomischen Formeln (x² fällt weg)

Gleichungen · Stufe 5 – Prüfungsniveau

(a ± b)², zwei Klammern ausmultiplizieren; die Terme mit x² heben sich auf.

Unten finden Sie Beispielaufgaben mit dem ganzen Rechenweg. Neue Aufgaben dieses Typs erstellt Ihnen die Anwendung unbegrenzt – mit Ergebniskontrolle, Rechenweg Schritt für Schritt und Druckversion.

10 Aufgaben üben Spickzettel – Gleichungen

Aufgabe 1

Löse die Gleichung und mache die Probe.

(x+4)2=x2+9x+7
Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Klammern ausmultiplizieren
    (x+4)2=x2+2·x·4+42=x2+8x+16
    x2+8x+16=x2+9x+7
    TippFormeln: (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b².
  2. 2Terme mit x auf eine Seite bringen
    x2+8x+16=x2+9x+7| − x² − 9x − 16
    Die Terme mit x bringen wir auf die linke Seite, die Zahlen auf die rechte (auf beiden Seiten dasselbe addieren/subtrahieren).
    x2+8x−x2−9x=7−16
    TippEin Term, den wir auf die andere Seite der Gleichung bringen, ändert sein Vorzeichen.
  3. 3Zusammenfassen
    Linke Seite:x2+8x−x2−9x=−x
    Rechte Seite:7−16=−9
    −x=−9
  4. 4Durch den Koeffizienten von x dividieren
    −x=−9| · (−1)
    Wir multiplizieren beide Seiten mit −1 (Vorzeichen umkehren).
    x=9
    x=9
    TippWir dividieren beide Seiten durch dieselbe Zahl ungleich null – die Gleichung bleibt gültig. Beim Dividieren durch eine negative Zahl auf das Vorzeichen des Ergebnisses achten.
  5. 5Probe
    Wir setzen x =9in die ursprüngliche Gleichung ein:
    Linke Seite: L =(9+4)2=132=169
    Rechte Seite: R =92+9·9+7=81+9·9+7=81+81+7=169
    L = R, die Lösung ist richtig ✓
    TippDie Probe macht man durch Einsetzen in die URSPRÜNGLICHE Gleichung, nicht in die umgeformte.
Ergebnis: x=9

Aufgabe 2

Löse die Gleichung und mache die Probe.

(x−2)2−x2=8
Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Klammern ausmultiplizieren
    (x−2)2=x2−2·x·2+22=x2−4x+4
    x2−4x+4−x2=8
    TippFormeln: (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b².
  2. 2Gleichartige Terme auf jeder Seite zusammenfassen
    Linke Seite:x2−4x+4−x2=−4x+4
    −4x+4=8
    TippWir addieren nur gleichartige Terme: x mit x, Zahlen mit Zahlen.
  3. 3Terme mit x auf eine Seite bringen
    −4x+4=8| − 4
    Die Terme mit x bringen wir auf die linke Seite, die Zahlen auf die rechte (auf beiden Seiten dasselbe addieren/subtrahieren).
    −4x=8−4
    TippEin Term, den wir auf die andere Seite der Gleichung bringen, ändert sein Vorzeichen.
  4. 4Zusammenfassen
    Rechte Seite:8−4=4
    −4x=4
  5. 5Durch den Koeffizienten von x dividieren
    −4x=4| : (−4)
    Wir dividieren beide Seiten durch −4 (den Koeffizienten von x).
    x=4/(−4)=−1
    x=−1
    TippWir dividieren beide Seiten durch dieselbe Zahl ungleich null – die Gleichung bleibt gültig. Beim Dividieren durch eine negative Zahl auf das Vorzeichen des Ergebnisses achten.
  6. 6Probe
    Wir setzen x =−1in die ursprüngliche Gleichung ein:
    Linke Seite: L =(−1−2)2−(−1)2=(−1−2)2−1=(−3)2−1=9−1=8
    Rechte Seite: R =8
    L = R, die Lösung ist richtig ✓
    TippDie Probe macht man durch Einsetzen in die URSPRÜNGLICHE Gleichung, nicht in die umgeformte.
Ergebnis: x=−1

Aufgabe 3

Löse die Gleichung und mache die Probe.

(x−2)(x+2)=(x−5)2−9
Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Klammern ausmultiplizieren
    (x−2)(x+2)=x2+2x−2x−4
    (x−5)2=x2−2·x·5+52=x2−10x+25
    x2+2x−2x−4=x2−10x+25−9
    TippZwei Klammern multiplizieren wir „jeder mit jedem“. Formeln: (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b².
  2. 2Gleichartige Terme auf jeder Seite zusammenfassen
    Linke Seite:x2+2x−2x−4=x2−4
    Rechte Seite:x2−10x+25−9=x2−10x+16
    x2−4=x2−10x+16
    TippWir addieren nur gleichartige Terme: x mit x, Zahlen mit Zahlen. Die Terme mit x² heben sich gegenseitig auf.
  3. 3Terme mit x auf eine Seite bringen
    x2−4=x2−10x+16| − x² + 10x + 4
    Die Terme mit x bringen wir auf die linke Seite, die Zahlen auf die rechte (auf beiden Seiten dasselbe addieren/subtrahieren).
    x2−x2+10x=16+4
    TippEin Term, den wir auf die andere Seite der Gleichung bringen, ändert sein Vorzeichen.
  4. 4Zusammenfassen
    Linke Seite:x2−x2+10x=10x
    Rechte Seite:16+4=20
    10x=20
  5. 5Durch den Koeffizienten von x dividieren
    10x=20| : 10
    Wir dividieren beide Seiten durch 10 (den Koeffizienten von x).
    x=20/10=2
    x=2
    TippWir dividieren beide Seiten durch dieselbe Zahl ungleich null – die Gleichung bleibt gültig.
  6. 6Probe
    Wir setzen x =2in die ursprüngliche Gleichung ein:
    Linke Seite: L =(2−2)·(2+2)=0·4=0
    Rechte Seite: R =(2−5)2−9=(−3)2−9=9−9=0
    L = R, die Lösung ist richtig ✓
    TippDie Probe macht man durch Einsetzen in die URSPRÜNGLICHE Gleichung, nicht in die umgeformte.
Ergebnis: x=2

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