Spickzettel – Gleichungen
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Was ist eine Gleichung?
Gleichung = zwei Terme, verbunden durch ein Gleichheitszeichen. Die Lösung ist die Zahl, für die nach dem Einsetzen für x die Gleichheit gilt.
Äquivalenzumformungen
Mit einer Gleichung dürfen wir alles machen, wenn wir es auf beiden Seiten gleich tun:
• dieselbe Zahl oder denselben Term addieren oder subtrahieren,
• mit derselben Zahl ungleich null multiplizieren oder durch sie dividieren.
Die Umformung schreiben wir hinter einen senkrechten Strich: | − 5, | · 6, | : 3.
Lösungsweg
1. Brüche beseitigen (mit dem Hauptnenner multiplizieren).
2. Klammern auflösen.
3. Terme auf jeder Seite zusammenfassen.
4. Terme mit x auf eine Seite, Zahlen auf die andere bringen.
5. Durch den Koeffizienten von x dividieren.
6. Probe – in die ursprüngliche Gleichung einsetzen.
Auf die andere Seite bringen
Ein Term, den wir auf die andere Seite bringen, ändert sein Vorzeichen.
Klammern
Die Zahl vor der Klammer multipliziert jeden Summanden in der Klammer. Ein Minus vor der Klammer ändert die Vorzeichen aller Summanden.
Brüche
Wir multiplizieren beide Seiten mit dem Hauptnenner – jeden Summanden, auch den ohne Bruch. Ein Zähler mit mehreren Summanden bleibt in einer Klammer!
Formeln
In Prüfungsgleichungen heben sich die Terme mit x² meist auf beiden Seiten auf.
Wie viele Lösungen?
Nach dem Umformen ergibt sich:
• x = Zahl → genau eine Lösung,
• 0 = 0 → unendlich viele Lösungen (gilt für jedes x),
• 0 = 5 (falsch) → keine Lösung.
Textaufgaben
1. Lege die Unbekannte fest (x = …).
2. Drücke die übrigen Angaben mit x aus.
3. Stelle die Gleichung auf.
4. Löse sie.
5. Probe am Text und Antwort in einem ganzen Satz.
Typische Formulierungen: „um 5 mehr“ → x + 5, „dreimal so viel“ → 3x, „ein Drittel“ → x/3, „aufeinanderfolgende Zahlen“ → x, x + 1, x + 2.
Häufigste Fehler
✗ Beim Umstellen das Vorzeichen nicht geändert.
✗ Ein Minus vor der Klammer ändert nur den ersten Summanden.
✗ Beim Multiplizieren mit dem Hauptnenner einen Summanden ohne Bruch vergessen.
✗ (x + 3)² = x² + 9 (es fehlt 6x).
✗ Vorzeichen beim Dividieren durch den Koeffizienten verloren: −3x = 12 → x = 4 (richtig x = −4).
✗ Probe durch Einsetzen in die umgeformte statt in die ursprüngliche Gleichung.