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Wie viele Lösungen hat die Gleichung?

Gleichungen · Stufe 4 – Brüche und Anzahl der Lösungen · Klasse 8

0 = 0 → unendlich viele Lösungen, 0 = 5 → keine Lösung.

Unten finden Sie Beispielaufgaben mit dem ganzen Rechenweg. Neue Aufgaben dieses Typs erstellt Ihnen die Anwendung unbegrenzt – mit Ergebniskontrolle, Rechenweg Schritt für Schritt und Druckversion.

10 Aufgaben üben Spickzettel – Gleichungen

Aufgabe 1

Entscheide, wie viele Lösungen die Gleichung hat.

4(x+5)=4x+1
  1. ADie Gleichung hat keine Lösung.
  2. BDie Gleichung hat genau eine Lösung.
  3. CDie Gleichung hat unendlich viele Lösungen.
Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Klammern ausmultiplizieren
    4(x+5)=4x+20
    4x+20=4x+1
    TippMit der Zahl vor der Klammer multiplizieren wir JEDEN Summanden in der Klammer.
  2. 2Terme mit x auf eine Seite bringen
    4x+20=4x+1| − 4x − 20
    Die Terme mit x bringen wir auf die linke Seite, die Zahlen auf die rechte (auf beiden Seiten dasselbe addieren/subtrahieren).
    4x−4x=1−20
    TippEin Term, den wir auf die andere Seite der Gleichung bringen, ändert sein Vorzeichen.
  3. 3Zusammenfassen
    Linke Seite:4x−4x=0
    Rechte Seite:1−20=−19
    0=−19
  4. 4Ergebnis: Die Gleichung gilt nie
    Nach dem Umformen ergibt sich 0 = −19 – das gilt für kein x.
    TippDie Gleichung hat keine Lösung.
Ergebnis: Die Gleichung hat keine Lösung.

Aufgabe 2

Entscheide, wie viele Lösungen die Gleichung hat.

5(x+9)−x=4x+45
  1. ADie Gleichung hat keine Lösung.
  2. BDie Gleichung hat genau eine Lösung.
  3. CDie Gleichung hat unendlich viele Lösungen.
Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Klammern ausmultiplizieren
    5(x+9)=5x+45
    5x+45−x=4x+45
    TippMit der Zahl vor der Klammer multiplizieren wir JEDEN Summanden in der Klammer.
  2. 2Gleichartige Terme auf jeder Seite zusammenfassen
    Linke Seite:5x+45−x=4x+45
    4x+45=4x+45
    TippWir addieren nur gleichartige Terme: x mit x, Zahlen mit Zahlen.
  3. 3Terme mit x auf eine Seite bringen
    4x+45=4x+45| − 4x − 45
    Die Terme mit x bringen wir auf die linke Seite, die Zahlen auf die rechte (auf beiden Seiten dasselbe addieren/subtrahieren).
    4x−4x=45−45
    TippEin Term, den wir auf die andere Seite der Gleichung bringen, ändert sein Vorzeichen.
  4. 4Zusammenfassen
    Linke Seite:4x−4x=0
    Rechte Seite:45−45=0
    0=0
  5. 5Ergebnis: Die Gleichung gilt immer
    0=0
    Nach dem Umformen ergibt sich 0 = 0 – das gilt für jede Zahl x.
    TippDie Gleichung hat unendlich viele Lösungen – jede reelle Zahl erfüllt sie.
Ergebnis: Die Gleichung hat unendlich viele Lösungen.

Aufgabe 3

Entscheide, wie viele Lösungen die Gleichung hat.

4(x+7)−5(x−7)=−x+7
  1. ADie Gleichung hat keine Lösung.
  2. BDie Gleichung hat genau eine Lösung.
  3. CDie Gleichung hat unendlich viele Lösungen.
Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Klammern ausmultiplizieren
    4(x+7)=4x+28
    −5(x−7)=−5x+35
    4x+28−5x+35=−x+7
    TippEin Minus vor der Klammer ändert das Vorzeichen aller Summanden in der Klammer.
  2. 2Gleichartige Terme auf jeder Seite zusammenfassen
    Linke Seite:4x+28−5x+35=−x+63
    −x+63=−x+7
    TippWir addieren nur gleichartige Terme: x mit x, Zahlen mit Zahlen.
  3. 3Terme mit x auf eine Seite bringen
    −x+63=−x+7| + x − 63
    Die Terme mit x bringen wir auf die linke Seite, die Zahlen auf die rechte (auf beiden Seiten dasselbe addieren/subtrahieren).
    −x+x=7−63
    TippEin Term, den wir auf die andere Seite der Gleichung bringen, ändert sein Vorzeichen.
  4. 4Zusammenfassen
    Linke Seite:−x+x=0
    Rechte Seite:7−63=−56
    0=−56
  5. 5Ergebnis: Die Gleichung gilt nie
    Nach dem Umformen ergibt sich 0 = −56 – das gilt für kein x.
    TippDie Gleichung hat keine Lösung.
Ergebnis: Die Gleichung hat keine Lösung.

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