x²

Quadratische Gleichungen und Funktionen – üben für die Abschlussprüfung

Quadratische Gleichungen: reinquadratisch, Ausklammern und Satz vom Nullprodukt, Lösungsformel mit Diskriminante, Anzahl der Lösungen; quadratische Funktionen: Scheitelpunkt, Nullstellen aus dem Graphen und Sachaufgaben.

Spickzettel

Quadratische Gleichungen und Funktionen: reinquadratische Gleichungen, Ausklammern und Satz vom Nullprodukt, Lösungsformel mit Diskriminante, Anzahl der Lösungen, Scheitelpunkt einer Parabel, Nullstellen aus dem Graphen und Sachaufgaben.

Quadratische Gleichungen und Parabeln sind Stoff der 9. und 10. Klasse und gehören in vielen Bundesländern zum Prüfungsteil mit Taschenrechner und Formelsammlung – die Lösungsformel steht dort, anwenden muss man sie aber sicher können. Die p-q-Formel führt zum selben Ergebnis wie die hier verwendete abc-Formel.

Was man hier übt

1. Reinquadratische Gleichungen

Reinquadratische Gleichung

2. Ausklammern und Nullprodukt

3. Lösungsformel

4. Parabeln

5. Textaufgaben

Was Sie aus diesem Bereich für die Abschlussprüfung brauchen

Reinquadratische Gleichungen durch Wurzelziehen lösen – mit beiden Lösungen.
Gleichungen ohne absolutes Glied durch Ausklammern lösen.
Die Lösungsformel anwenden und an der Diskriminante die Anzahl der Lösungen erkennen.
Den Scheitelpunkt aus der Scheitelpunktform oder durch quadratische Ergänzung bestimmen.

Typische Fehler

Bei x² = 9 wird die negative Lösung −3 vergessen.
Bei ax² + bx = 0 wird durch x geteilt – die Lösung x = 0 geht verloren.
In f(x) = (x − 3)² hat der Scheitelpunkt die x-Koordinate +3, nicht −3.

Gelöste Aufgabe: Lösen mit der Lösungsformel

Löse die Gleichung. Gib beide Lösungen der Größe nach an, getrennt durch ein Semikolon (z. B. −2; 5).

2x2+7x−4=0

Lösung Schritt für Schritt

1Koeffizienten: a = 2, b = 7, c = −4

D = b² − 4ac =72−4·2·(−4)=49+32=81

TippD > 0 – zwei Lösungen, D = 0 – eine, D < 0 – keine Lösung.
2Lösungsformel x₁,₂ = (−b ± √D) : 2a

x₁ =−7−81/2·2=−16/4=−4
x₂ =−7+81/2·2=2/4=1/2

TippEin negatives b in Klammern einsetzen: −b ist dann positiv.
3Probe durch Einsetzen

x = −4:2·(−4)2+7·(−4)−4=0
x = 1/2:2·(1/2)2+7·1/2−4=0

Ergebnis: x₁ =−4;x₂ =1/2

Weitere gelöste Aufgaben – Lösen mit der Lösungsformel