x,y

Lineare Gleichungssysteme – üben für die Abschlussprüfung

Systeme aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Unbekannten: Probe, Einsetzungs- und Additionsverfahren, Umformen der Gleichungen, Anzahl der Lösungen und Textaufgaben.

Spickzettel

Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen: Prüfen, ob ein Paar eine Lösung ist, Einsetzungs- und Additionsverfahren, Gleichungssysteme mit Umformungen, Anzahl der Lösungen und Textaufgaben.

Lineare Gleichungssysteme gehören in den meisten Bundesländern zum Stoff der 9. und 10. Klasse und kommen in der Abschlussprüfung häufig als Textaufgabe vor (Eintrittspreise, Mischungen, Zahlenrätsel).

Was man hier übt

1. Grundlagen

2. Einsetzungsverfahren

Einsetzungsverfahren

3. Additionsverfahren

Additionsverfahren

4. Umformungen und Anzahl der Lösungen

5. Textaufgaben

Textaufgaben mit Gleichungssystemen

Was Sie aus diesem Bereich für die Abschlussprüfung brauchen

Einsetzungsverfahren, wenn eine Gleichung schon nach einer Variablen aufgelöst ist.
Additionsverfahren, wenn die Koeffizienten einer Variablen Gegenzahlen sind oder dazu gemacht werden.
Textaufgaben: zwei Unbekannte festlegen und zwei Gleichungen aufstellen.
Probe in beiden Gleichungen.

Typische Fehler

Beim Einsetzen fehlen Klammern um den eingesetzten Term.
Beim Additionsverfahren wird nur eine Seite der Gleichung multipliziert.
Die Probe wird nur in einer Gleichung gemacht.

Gelöste Aufgabe: Textaufgaben mit Gleichungssystemen

Textaufgabe

Zu einer Vorstellung kamen 251 Zuschauer. Der Eintritt betrug 15 € für Erwachsene und 8 € für Kinder. Die Einnahmen betrugen 2813 €. Wie viele Kinder kamen?

Lösung Schritt für Schritt

1Wir legen die Unbekannten fest und stellen die Gleichungen auf

x … Anzahl der Erwachsenen, y … Anzahl der Kinder
1. Gleichung:x+y=251
2. Gleichung:15x+8y=2813

TippZwei Unbekannte → wir brauchen zwei Gleichungen. Jeder Satz mit einer Angabe ergibt eine Gleichung.
2Wir formen die Gleichungen so um, dass y beim Addieren wegfällt

−8x−8y=−2008(Gleichung 1 multipliziert mit (−8))
15x+8y=2813(Gleichung 2 unverändert)

TippDie Koeffizienten von y müssen Gegenzahlen sein (z. B. 6y und −6y). Wir multiplizieren die ganze Gleichung – beide Seiten, jeden Summanden.
3Wir addieren die Gleichungen

7x=805
x=805:7=115

TippWir addieren die linken Seiten und die rechten Seiten jeweils für sich.
4Wir setzen x = 115 in die 1. Gleichung ein

115+y=251
y=251−115
y=136

TippEinsetzen können wir in jede Gleichung – wir wählen die einfachere.
5Probe – Einsetzen in beide Gleichungen

1. Gleichung:115+136=251
2. Gleichung:15·115+8·136=2813

TippDie Lösung muss beide Gleichungen zugleich erfüllen. Erfüllt sie nur eine, ist das ein Fehler.

Ergebnis: 136

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