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Gleichungssysteme mit Umformungen

Lineare Gleichungssysteme · Stufe 4 – Umformungen und Anzahl der Lösungen · Klasse 9

Zuerst bringen wir jede Gleichung auf die Form ax + by = c (Klammern, Brüche), dann lösen wir.

Unten finden Sie Beispielaufgaben mit dem ganzen Rechenweg. Neue Aufgaben dieses Typs erstellt Ihnen die Anwendung unbegrenzt – mit Ergebniskontrolle, Rechenweg Schritt für Schritt und Druckversion.

10 Aufgaben üben Spickzettel – Lineare Gleichungssysteme

Aufgabe 1

Löse das Gleichungssystem.

−3x+3=−2y−235x−2y=42
Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Wir bringen die Gleichungen auf die Form ax + by = c
    1. Gleichung:−3x+3=−2y−23
    −3x+2y=−26
    TippDie Terme mit Variablen bringen wir auf die linke Seite, die Zahlen auf die rechte.
  2. 2Wir formen die Gleichungen so um, dass y beim Addieren wegfällt
    −3x+2y=−26(Gleichung 1 unverändert)
    5x−2y=42(Gleichung 2 unverändert)
    TippDie Koeffizienten von y müssen Gegenzahlen sein (z. B. 6y und −6y). Wir multiplizieren die ganze Gleichung – beide Seiten, jeden Summanden.
  3. 3Wir addieren die Gleichungen
    2x=16
    x=16:2=8
    TippWir addieren die linken Seiten und die rechten Seiten jeweils für sich.
  4. 4Wir setzen x = 8 in die 1. Gleichung ein
    −3·8+2y=−26
    2y=−26−(−24)
    2y=−2
    y=−2:2=−1
    TippEinsetzen können wir in jede Gleichung – wir wählen die einfachere.
  5. 5Probe – Einsetzen in beide Gleichungen
    1. Gleichung:−3·8+2·(−1)=−26
    2. Gleichung:5·8−2·(−1)=42
    TippDie Lösung muss beide Gleichungen zugleich erfüllen. Erfüllt sie nur eine, ist das ein Fehler.
Ergebnis: x=8;y=−1

Aufgabe 2

Löse das Gleichungssystem.

−2x+3=6y−66x+5=5y+9
Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Wir bringen die Gleichungen auf die Form ax + by = c
    1. Gleichung:−2x+3=6y−6
    −2x−6y=−9
    2. Gleichung:6x+5=5y+9
    6x−5y=4
    TippDie Terme mit Variablen bringen wir auf die linke Seite, die Zahlen auf die rechte.
  2. 2Wir formen die Gleichungen so um, dass y beim Addieren wegfällt
    10x+30y=45(Gleichung 1 multipliziert mit (−5))
    36x−30y=24(Gleichung 2 multipliziert mit 6)
    TippDie Koeffizienten von y müssen Gegenzahlen sein (z. B. 6y und −6y). Wir multiplizieren die ganze Gleichung – beide Seiten, jeden Summanden.
  3. 3Wir addieren die Gleichungen
    46x=69
    x=69:46=3/2
    TippWir addieren die linken Seiten und die rechten Seiten jeweils für sich.
  4. 4Wir setzen x = 3/2 in die 1. Gleichung ein
    −2·3/2−6y=−9
    −6y=−9−(−3)
    −6y=−6
    y=−6:(−6)=1
    TippEinsetzen können wir in jede Gleichung – wir wählen die einfachere.
  5. 5Probe – Einsetzen in beide Gleichungen
    1. Gleichung:−2·3/2−6·1=−9
    2. Gleichung:6·3/2−5·1=4
    TippDie Lösung muss beide Gleichungen zugleich erfüllen. Erfüllt sie nur eine, ist das ein Fehler.
Ergebnis: x=3/2;y=1

Aufgabe 3

Löse das Gleichungssystem.

−x+3=6y−42x−2=−4y+4
Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Wir bringen die Gleichungen auf die Form ax + by = c
    1. Gleichung:−x+3=6y−4
    −x−6y=−7
    2. Gleichung:2x−2=−4y+4
    2x+4y=6
    TippDie Terme mit Variablen bringen wir auf die linke Seite, die Zahlen auf die rechte.
  2. 2Wir formen die Gleichungen so um, dass y beim Addieren wegfällt
    −2x−12y=−14(Gleichung 1 multipliziert mit 2)
    6x+12y=18(Gleichung 2 multipliziert mit 3)
    TippDie Koeffizienten von y müssen Gegenzahlen sein (z. B. 6y und −6y). Wir multiplizieren die ganze Gleichung – beide Seiten, jeden Summanden.
  3. 3Wir addieren die Gleichungen
    4x=4
    x=4:4=1
    TippWir addieren die linken Seiten und die rechten Seiten jeweils für sich.
  4. 4Wir setzen x = 1 in die 1. Gleichung ein
    −1−6y=−7
    −6y=−7−(−1)
    −6y=−6
    y=−6:(−6)=1
    TippEinsetzen können wir in jede Gleichung – wir wählen die einfachere.
  5. 5Probe – Einsetzen in beide Gleichungen
    1. Gleichung:−1−6·1=−7
    2. Gleichung:2·1+4·1=6
    TippDie Lösung muss beide Gleichungen zugleich erfüllen. Erfüllt sie nur eine, ist das ein Fehler.
Ergebnis: x=1;y=1

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