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Textaufgaben mit Gleichungssystemen

Lineare Gleichungssysteme · Stufe 5 – Textaufgaben

Wir legen zwei Unbekannte fest, stellen zwei Gleichungen auf, lösen sie und beantworten die Frage.

Unten finden Sie Beispielaufgaben mit dem ganzen Rechenweg. Neue Aufgaben dieses Typs erstellt Ihnen die Anwendung unbegrenzt – mit Ergebniskontrolle, Rechenweg Schritt für Schritt und Druckversion.

10 Aufgaben üben Spickzettel – Lineare Gleichungssysteme

Aufgabe 1

Textaufgabe

In einer Spardose sind 31 Münzen – nur 2-Euro- und 1-Euro-Münzen, zusammen 56 €. Wie viele 2-Euro-Münzen sind in der Spardose?

Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Wir legen die Unbekannten fest und stellen die Gleichungen auf
    x … Anzahl der 2-Euro-Münzen, y … Anzahl der 1-Euro-Münzen
    1. Gleichung:x+y=31
    2. Gleichung:2x+y=56
    TippZwei Unbekannte → wir brauchen zwei Gleichungen. Jeder Satz mit einer Angabe ergibt eine Gleichung.
  2. 2Wir formen die Gleichungen so um, dass y beim Addieren wegfällt
    −x−y=−31(Gleichung 1 multipliziert mit (−1))
    2x+y=56(Gleichung 2 unverändert)
    TippDie Koeffizienten von y müssen Gegenzahlen sein (z. B. 6y und −6y). Wir multiplizieren die ganze Gleichung – beide Seiten, jeden Summanden.
  3. 3Wir addieren die Gleichungen
    x=25
    x=25:1=25
    TippWir addieren die linken Seiten und die rechten Seiten jeweils für sich.
  4. 4Wir setzen x = 25 in die 1. Gleichung ein
    25+y=31
    y=31−25
    y=6
    TippEinsetzen können wir in jede Gleichung – wir wählen die einfachere.
  5. 5Probe – Einsetzen in beide Gleichungen
    1. Gleichung:25+6=31
    2. Gleichung:2·25+6=56
    TippDie Lösung muss beide Gleichungen zugleich erfüllen. Erfüllt sie nur eine, ist das ein Fehler.
Ergebnis: 25

Aufgabe 2

Textaufgabe

4 Bälle und 2 Springseile kosten 74 €. 3 Bälle und 3 Springseile kosten 60 €. Wie viel Euro kostet ein Ball?

Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Wir legen die Unbekannten fest und stellen die Gleichungen auf
    x … Preis eines Balls, y … Preis eines Springseils
    1. Gleichung:4x+2y=74
    2. Gleichung:3x+3y=60
    TippZwei Unbekannte → wir brauchen zwei Gleichungen. Jeder Satz mit einer Angabe ergibt eine Gleichung.
  2. 2Wir formen die Gleichungen so um, dass y beim Addieren wegfällt
    12x+6y=222(Gleichung 1 multipliziert mit 3)
    −6x−6y=−120(Gleichung 2 multipliziert mit (−2))
    TippDie Koeffizienten von y müssen Gegenzahlen sein (z. B. 6y und −6y). Wir multiplizieren die ganze Gleichung – beide Seiten, jeden Summanden.
  3. 3Wir addieren die Gleichungen
    6x=102
    x=102:6=17
    TippWir addieren die linken Seiten und die rechten Seiten jeweils für sich.
  4. 4Wir setzen x = 17 in die 1. Gleichung ein
    4·17+2y=74
    2y=74−68
    2y=6
    y=6:2=3
    TippEinsetzen können wir in jede Gleichung – wir wählen die einfachere.
  5. 5Probe – Einsetzen in beide Gleichungen
    1. Gleichung:4·17+2·3=74
    2. Gleichung:3·17+3·3=60
    TippDie Lösung muss beide Gleichungen zugleich erfüllen. Erfüllt sie nur eine, ist das ein Fehler.
Ergebnis: 17€

Aufgabe 3

Textaufgabe

3 T-Shirts und 3 Mützen kosten 84,90 €. 5 T-Shirts und 2 Mützen kosten 101,90 €. Wie viel Euro kostet ein T-Shirt?

Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Wir legen die Unbekannten fest und stellen die Gleichungen auf
    x … Preis eines T-Shirts, y … Preis einer Mütze
    1. Gleichung:3x+3y=84,90
    2. Gleichung:5x+2y=101,90
    TippZwei Unbekannte → wir brauchen zwei Gleichungen. Jeder Satz mit einer Angabe ergibt eine Gleichung.
  2. 2Wir formen die Gleichungen so um, dass y beim Addieren wegfällt
    −6x−6y=−169,80(Gleichung 1 multipliziert mit (−2))
    15x+6y=305,70(Gleichung 2 multipliziert mit 3)
    TippDie Koeffizienten von y müssen Gegenzahlen sein (z. B. 6y und −6y). Wir multiplizieren die ganze Gleichung – beide Seiten, jeden Summanden.
  3. 3Wir addieren die Gleichungen
    9x=135,90
    x=135,90:9=15,10
    TippWir addieren die linken Seiten und die rechten Seiten jeweils für sich.
  4. 4Wir setzen x = 15,10 in die 1. Gleichung ein
    3·15,10+3y=84,90
    3y=84,90−45,30
    3y=39,60
    y=39,60:3=13,20
    TippEinsetzen können wir in jede Gleichung – wir wählen die einfachere.
  5. 5Probe – Einsetzen in beide Gleichungen
    1. Gleichung:3·15,10+3·13,20=84,90
    2. Gleichung:5·15,10+2·13,20=101,90
    TippDie Lösung muss beide Gleichungen zugleich erfüllen. Erfüllt sie nur eine, ist das ein Fehler.
Ergebnis: 15,10€