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Additionsverfahren

Lineare Gleichungssysteme · Stufe 3 – Additionsverfahren · Klasse 9

Wir multiplizieren die Gleichungen so, dass beim Addieren eine Variable wegfällt.

Unten finden Sie Beispielaufgaben mit dem ganzen Rechenweg. Neue Aufgaben dieses Typs erstellt Ihnen die Anwendung unbegrenzt – mit Ergebniskontrolle, Rechenweg Schritt für Schritt und Druckversion.

10 Aufgaben üben Spickzettel – Lineare Gleichungssysteme

Aufgabe 1

Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren.

3x+2y=133x−2y=5
Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Wir formen die Gleichungen so um, dass y beim Addieren wegfällt
    3x+2y=13(Gleichung 1 unverändert)
    3x−2y=5(Gleichung 2 unverändert)
    TippDie Koeffizienten von y müssen Gegenzahlen sein (z. B. 6y und −6y). Wir multiplizieren die ganze Gleichung – beide Seiten, jeden Summanden.
  2. 2Wir addieren die Gleichungen
    6x=18
    x=18:6=3
    TippWir addieren die linken Seiten und die rechten Seiten jeweils für sich.
  3. 3Wir setzen x = 3 in die 1. Gleichung ein
    3·3+2y=13
    2y=13−9
    2y=4
    y=4:2=2
    TippEinsetzen können wir in jede Gleichung – wir wählen die einfachere.
  4. 4Probe – Einsetzen in beide Gleichungen
    1. Gleichung:3·3+2·2=13
    2. Gleichung:3·3−2·2=5
    TippDie Lösung muss beide Gleichungen zugleich erfüllen. Erfüllt sie nur eine, ist das ein Fehler.
Ergebnis: x=3;y=2

Aufgabe 2

Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren.

−4x−3y=−345x−y=33
Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Wir formen die Gleichungen so um, dass y beim Addieren wegfällt
    4x+3y=34(Gleichung 1 multipliziert mit (−1))
    15x−3y=99(Gleichung 2 multipliziert mit 3)
    TippDie Koeffizienten von y müssen Gegenzahlen sein (z. B. 6y und −6y). Wir multiplizieren die ganze Gleichung – beide Seiten, jeden Summanden.
  2. 2Wir addieren die Gleichungen
    19x=133
    x=133:19=7
    TippWir addieren die linken Seiten und die rechten Seiten jeweils für sich.
  3. 3Wir setzen x = 7 in die 1. Gleichung ein
    −4·7−3y=−34
    −3y=−34−(−28)
    −3y=−6
    y=−6:(−3)=2
    TippEinsetzen können wir in jede Gleichung – wir wählen die einfachere.
  4. 4Probe – Einsetzen in beide Gleichungen
    1. Gleichung:−4·7−3·2=−34
    2. Gleichung:5·7−2=33
    TippDie Lösung muss beide Gleichungen zugleich erfüllen. Erfüllt sie nur eine, ist das ein Fehler.
Ergebnis: x=7;y=2

Aufgabe 3

Löse das Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren.

−6x+3y=−9−2x+2y=−1
Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Wir formen die Gleichungen so um, dass y beim Addieren wegfällt
    12x−6y=18(Gleichung 1 multipliziert mit (−2))
    −6x+6y=−3(Gleichung 2 multipliziert mit 3)
    TippDie Koeffizienten von y müssen Gegenzahlen sein (z. B. 6y und −6y). Wir multiplizieren die ganze Gleichung – beide Seiten, jeden Summanden.
  2. 2Wir addieren die Gleichungen
    6x=15
    x=15:6=5/2
    TippWir addieren die linken Seiten und die rechten Seiten jeweils für sich.
  3. 3Wir setzen x = 5/2 in die 1. Gleichung ein
    −6·5/2+3y=−9
    3y=−9−(−15)
    3y=6
    y=6:3=2
    TippEinsetzen können wir in jede Gleichung – wir wählen die einfachere.
  4. 4Probe – Einsetzen in beide Gleichungen
    1. Gleichung:−6·5/2+3·2=−9
    2. Gleichung:−2·5/2+2·2=−1
    TippDie Lösung muss beide Gleichungen zugleich erfüllen. Erfüllt sie nur eine, ist das ein Fehler.
Ergebnis: x=5/2;y=2