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Größter gemeinsamer Teiler

Teilbarkeit · Stufe 4 – NSD a NSN · Klasse 6

ggT(a, b) aus der Primfaktorzerlegung.

Unten finden Sie Beispielaufgaben mit dem ganzen Rechenweg. Neue Aufgaben dieses Typs erstellt Ihnen die Anwendung unbegrenzt – mit Ergebniskontrolle, Rechenweg Schritt für Schritt und Druckversion.

10 Aufgaben üben Spickzettel – Teilbarkeit

Aufgabe 1

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler.

ggT(12, 30) = ?
Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Wir zerlegen die Zahlen in ein Produkt von Primzahlen
    12=2 · 2 · 3=22·3
    30=2 · 3 · 5
    TippWir dividieren nacheinander durch die kleinsten Primzahlen (2, 3, 5, 7, …), bis 1 übrig bleibt.
  2. 2Größter gemeinsamer Teiler = Produkt der gemeinsamen Primfaktoren
    Gemeinsame Primfaktoren (jeder so oft, wie er in allen Zerlegungen vorkommt):2 · 3
    ggT(12, 30) =2 · 3=6
    TippBeim Teiler nehmen wir nur, was alle Zahlen gemeinsam haben – jede Primzahl mit dem kleinsten Exponenten, in dem sie vorkommt.
  3. 3Probe
    12:6=2
    30:6=5
    TippDie Quotienten dürfen keinen gemeinsamen Teiler außer 1 mehr haben – sonst ist der ggT nicht der größte.
Ergebnis: ggT(12, 30) =6

Aufgabe 2

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler.

ggT(32, 40) = ?
Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Wir zerlegen die Zahlen in ein Produkt von Primzahlen
    32=2 · 2 · 2 · 2 · 2=25
    40=2 · 2 · 2 · 5=23·5
    TippWir dividieren nacheinander durch die kleinsten Primzahlen (2, 3, 5, 7, …), bis 1 übrig bleibt.
  2. 2Größter gemeinsamer Teiler = Produkt der gemeinsamen Primfaktoren
    Gemeinsame Primfaktoren (jeder so oft, wie er in allen Zerlegungen vorkommt):2 · 2 · 2
    ggT(32, 40) =2 · 2 · 2=8
    TippBeim Teiler nehmen wir nur, was alle Zahlen gemeinsam haben – jede Primzahl mit dem kleinsten Exponenten, in dem sie vorkommt.
  3. 3Probe
    32:8=4
    40:8=5
    TippDie Quotienten dürfen keinen gemeinsamen Teiler außer 1 mehr haben – sonst ist der ggT nicht der größte.
Ergebnis: ggT(32, 40) =8

Aufgabe 3

Bestimme den größten gemeinsamen Teiler.

ggT(72, 90) = ?
Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Wir zerlegen die Zahlen in ein Produkt von Primzahlen
    72=2 · 2 · 2 · 3 · 3=23·32
    90=2 · 3 · 3 · 5=2·32·5
    TippWir dividieren nacheinander durch die kleinsten Primzahlen (2, 3, 5, 7, …), bis 1 übrig bleibt.
  2. 2Größter gemeinsamer Teiler = Produkt der gemeinsamen Primfaktoren
    Gemeinsame Primfaktoren (jeder so oft, wie er in allen Zerlegungen vorkommt):2 · 3 · 3
    ggT(72, 90) =2 · 3 · 3=18
    TippBeim Teiler nehmen wir nur, was alle Zahlen gemeinsam haben – jede Primzahl mit dem kleinsten Exponenten, in dem sie vorkommt.
  3. 3Probe
    72:18=4
    90:18=5
    TippDie Quotienten dürfen keinen gemeinsamen Teiler außer 1 mehr haben – sonst ist der ggT nicht der größte.
Ergebnis: ggT(72, 90) =18

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