Spickzettel – Teilbarkeit
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Vielfaches und Teiler
6 ist ein Teiler von 42 (42 : 6 = 7 ohne Rest), 42 ist ein Vielfaches von 6.
Vielfache von 6: 6, 12, 18, 24, … (unendlich viele). Teiler von 42: 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
Teiler suchen wir paarweise: 1 · 42, 2 · 21, 3 · 14, 6 · 7.
Jede Zahl ist durch 1 und durch sich selbst teilbar.
Teilbarkeitsregeln
| teilbar durch | wenn | Beispiel |
|---|---|---|
| 2 | die letzte Ziffer ist gerade (0, 2, 4, 6, 8) | 1 358 |
| 3 | die Quersumme ist durch 3 teilbar | 2 571 (2 + 5 + 7 + 1 = 15) |
| 4 | die letzten beiden Ziffern bilden eine durch 4 teilbare Zahl | 7 316 (16 = 4 · 4) |
| 5 | die letzte Ziffer ist 0 oder 5 | 4 285 |
| 6 | sie ist durch 2 und durch 3 teilbar | 1 254 |
| 9 | die Quersumme ist durch 9 teilbar | 3 762 (3 + 7 + 6 + 2 = 18) |
| 10 | die letzte Ziffer ist 0 | 5 430 |
Zusammengesetzte Teiler: 12 = 3 · 4, 15 = 3 · 5, 18 = 2 · 9 – beide Regeln müssen gelten. Die beiden Zahlen müssen teilerfremd sein – die Teilbarkeit durch 12 lässt sich nicht über 2 und 6 prüfen: 18 ist durch 2 und 6 teilbar, aber nicht durch 12.
Primzahlen
Eine Primzahl hat genau zwei Teiler: 1 und sich selbst. Eine zusammengesetzte Zahl hat mehr Teiler. Die 1 ist weder Primzahl noch zusammengesetzt.
Primzahlen bis 100: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
Ist die Zahl eine Primzahl? Wir dividieren probeweise durch die Primzahlen 2, 3, 5, 7, 11, …, bis ihr Quadrat größer ist als die untersuchte Zahl. Tückische Zahlen: 51 = 3 · 17, 57 = 3 · 19, 91 = 7 · 13, 119 = 7 · 17.
Primfaktorzerlegung
Wir dividieren nacheinander durch die kleinsten Primzahlen, bis 1 übrig bleibt:
In der Zerlegung dürfen nur Primzahlen stehen (nicht 4, 6, 9, 10 …).
Größter gemeinsamer Teiler ggT(a, b)
Wir multiplizieren die gemeinsamen Primfaktoren (jeden mit dem kleinsten Exponenten).
Zahlen mit ggT = 1 sind teilerfremd (z. B. 8 und 15).
Kleinstes gemeinsames Vielfaches kgV(a, b)
Wir nehmen alle Primfaktoren (jeden mit dem größten Exponenten).
Kontrolle: ggT(a, b) · kgV(a, b) = a · b → 6 · 36 = 12 · 18 = 216.
Hauptnenner
Hauptnenner von Brüchen = kleinstes gemeinsames Vielfaches der Nenner.
Textaufgaben – welches von beiden?
Gemeinsames Vielfaches (kgV): „wann treffen sie sich wieder / wieder gleichzeitig“, „kleinstes Quadrat aus Rechtecken“, Zahnräder, blinkende Lichter – das Ergebnis ist größer als die gegebenen Zahlen.
Gemeinsamer Teiler (ggT): „möglichst viele gleiche Päckchen / Sträuße“, „möglichst lange Stücke“, „möglichst große quadratische Fliesen“, „nichts bleibt übrig“ – das Ergebnis ist kleiner als die gegebenen Zahlen.
Rest: „zu 4, zu 5 oder zu 6 bleibt immer einer übrig“ → gemeinsames Vielfaches + Rest.
Häufigste Fehler
✗ 1 ist eine Primzahl (ist sie nicht – sie hat nur einen Teiler).
✗ Eine gerade Zahl ist immer durch 4 teilbar (6, 10, 14 … sind es nicht).
✗ Durch 3 teilbar = durch 9 teilbar (12 ist durch 3 teilbar, aber nicht durch 9).
✗ In der Zerlegung 4 oder 9 stehen lassen (das sind keine Primzahlen).
✗ ggT und kgV verwechseln – prüfe, ob das Ergebnis kleiner oder größer als die gegebenen Zahlen sein soll.