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Textaufgaben zum gemeinsamen Vielfachen

Teilbarkeit · Stufe 5 – Prüfungsniveau

Wann treffen sie sich wieder, das kleinste Quadrat aus Fliesen, Zahnräder.

Unten finden Sie Beispielaufgaben mit dem ganzen Rechenweg. Neue Aufgaben dieses Typs erstellt Ihnen die Anwendung unbegrenzt – mit Ergebniskontrolle, Rechenweg Schritt für Schritt und Druckversion.

10 Aufgaben üben Spickzettel – Teilbarkeit

Aufgabe 1

Textaufgabe

Paul geht jeden 10. Tag schwimmen, Lena jeden 15. Tag. Heute haben sie sich im Schwimmbad getroffen. Nach wie vielen Tagen treffen sie sich dort frühestens wieder?

Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Was suchen wir?
    Wir suchen die kleinste Anzahl Tage, die ein Vielfaches beider Zahlen ist → kleinstes gemeinsames Vielfaches.
    TippDie Schlüsselwörter „wieder gleichzeitig“, „frühestens“, „möglichst klein“ weisen auf das kleinste gemeinsame Vielfache hin.
  2. 2Wir zerlegen die Zahlen in ein Produkt von Primzahlen
    10=2 · 5
    15=3 · 5
    TippWir dividieren nacheinander durch die kleinsten Primzahlen (2, 3, 5, 7, …), bis 1 übrig bleibt.
  3. 3Kleinstes gemeinsames Vielfaches
    Jede Primzahl nehmen wir so oft, wie sie in der Zerlegung vorkommt, in der sie am häufigsten steht:2 · 3 · 5
    kgV(10, 15) =2 · 3 · 5=30
    TippDas Vielfache muss die ganze Zerlegung jeder Zahl enthalten – deshalb nehmen wir jede Primzahl mit dem größten Exponenten.
Ergebnis: 30Tage

Aufgabe 2

Textaufgabe

Aus rechteckigen Fliesen mit den Maßen 20 cm × 24 cm wollen wir ein möglichst kleines Quadrat legen. Alle Fliesen liegen gleich herum und dürfen nicht zerschnitten werden. Wie viele Fliesen brauchen wir dafür?

Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Was suchen wir?
    Die Seite des Quadrats muss ein Vielfaches von 20 (Fliesen nebeneinander) und von 24 (Fliesen untereinander) sein und möglichst klein → kleinstes gemeinsames Vielfaches.
    TippDie Schlüsselwörter „wieder gleichzeitig“, „frühestens“, „möglichst klein“ weisen auf das kleinste gemeinsame Vielfache hin.
  2. 2Wir zerlegen die Zahlen in ein Produkt von Primzahlen
    20=2 · 2 · 5=22·5
    24=2 · 2 · 2 · 3=23·3
    TippWir dividieren nacheinander durch die kleinsten Primzahlen (2, 3, 5, 7, …), bis 1 übrig bleibt.
  3. 3Kleinstes gemeinsames Vielfaches
    Jede Primzahl nehmen wir so oft, wie sie in der Zerlegung vorkommt, in der sie am häufigsten steht:2 · 2 · 2 · 3 · 5
    kgV(20, 24) =2 · 2 · 2 · 3 · 5=120
    TippDas Vielfache muss die ganze Zerlegung jeder Zahl enthalten – deshalb nehmen wir jede Primzahl mit dem größten Exponenten.
  4. 4Anzahl der Fliesen
    nebeneinander:120:20=6
    untereinander:120:24=5
    insgesamt:6 · 5=30
Ergebnis: 30Fliesen

Aufgabe 3

Textaufgabe

Zwei Zahnräder greifen ineinander. Das kleinere Rad hat 12 Zähne, das größere 54 Zähne. Am Anfang stehen die markierten Zähne beider Räder nebeneinander. Wie oft muss sich das kleinere Rad drehen, bis die markierten Zähne zum ersten Mal wieder nebeneinanderstehen?

Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Was suchen wir?
    Die Anzahl der Zähne, die an der Berührungsstelle vorbeilaufen, muss ein Vielfaches der Zähnezahl beider Räder sein → kleinstes gemeinsames Vielfaches. Daraus berechnen wir dann die Umdrehungen des kleineren Rads.
    TippDie Schlüsselwörter „wieder gleichzeitig“, „frühestens“, „möglichst klein“ weisen auf das kleinste gemeinsame Vielfache hin.
  2. 2Wir zerlegen die Zahlen in ein Produkt von Primzahlen
    12=2 · 2 · 3=22·3
    54=2 · 3 · 3 · 3=2·33
    TippWir dividieren nacheinander durch die kleinsten Primzahlen (2, 3, 5, 7, …), bis 1 übrig bleibt.
  3. 3Kleinstes gemeinsames Vielfaches
    Jede Primzahl nehmen wir so oft, wie sie in der Zerlegung vorkommt, in der sie am häufigsten steht:2 · 2 · 3 · 3 · 3
    kgV(12, 54) =2 · 2 · 3 · 3 · 3=108
    TippDas Vielfache muss die ganze Zerlegung jeder Zahl enthalten – deshalb nehmen wir jede Primzahl mit dem größten Exponenten.
  4. 4Umdrehungen des kleineren Rads
    108:12=9
    TippBei einer Umdrehung laufen 12 Zähne vorbei.
Ergebnis: 9Umdrehungen

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