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Aufgaben mit Rest

Teilbarkeit · Stufe 5 – Prüfungsniveau

Beim Aufteilen in Gruppen bleibt immer gleich viel übrig – gemeinsames Vielfaches plus Rest.

Unten finden Sie Beispielaufgaben mit dem ganzen Rechenweg. Neue Aufgaben dieses Typs erstellt Ihnen die Anwendung unbegrenzt – mit Ergebniskontrolle, Rechenweg Schritt für Schritt und Druckversion.

10 Aufgaben üben Spickzettel – Teilbarkeit

Aufgabe 1

Textaufgabe

Im Schullandheim sind mehr als 25 und weniger als 70 Schüler. Wenn sie sich in Gruppen zu 9 oder zu 12 aufteilen, bleiben 5 Schüler übrig. Wie viele Schüler sind im Schullandheim?

Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Was suchen wir?
    Bliebe nichts übrig, wäre die Anzahl ein gemeinsames Vielfaches von 9 und 12. Die gesuchte Anzahl ist also um 5 größer als ein gemeinsames Vielfaches.
    TippBestimme zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache, addiere dann den Rest und prüfe die Bedingung aus dem Text.
  2. 2Wir zerlegen die Zahlen in ein Produkt von Primzahlen
    9=3 · 3=32
    12=2 · 2 · 3=22·3
    TippWir dividieren nacheinander durch die kleinsten Primzahlen (2, 3, 5, 7, …), bis 1 übrig bleibt.
  3. 3Kleinstes gemeinsames Vielfaches
    Jede Primzahl nehmen wir so oft, wie sie in der Zerlegung vorkommt, in der sie am häufigsten steht:2 · 2 · 3 · 3
    kgV(9, 12) =2 · 2 · 3 · 3=36
    TippDas Vielfache muss die ganze Zerlegung jeder Zahl enthalten – deshalb nehmen wir jede Primzahl mit dem größten Exponenten.
  4. 4Wir addieren den Rest und prüfen die Bedingung
    25<36+5=41<70
    Die Bedingung mit dem Rest würde auch die Zahl 5 allein erfüllen (keine ganze Gruppe), aber laut Aufgabe sind es mehr als 25.
    Nächste Möglichkeit:2 · 36 + 5=77– das ist nicht mehr weniger als 70.
    41=9 · 4 + 5
    41=12 · 3 + 5
    TippProbe: Nach dem Aufteilen in jede Gruppengröße muss wirklich die angegebene Anzahl übrig bleiben.
Ergebnis: 41

Aufgabe 2

Textaufgabe

In einer Schachtel sind mehr als 5 und weniger als 120 Bonbons. Wenn wir sie zu 5, zu 6 oder zu 9 aufteilen, bleibt ein Bonbon übrig. Wie viele Bonbons sind in der Schachtel?

Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Was suchen wir?
    Bliebe nichts übrig, wäre die Anzahl ein gemeinsames Vielfaches von 5, 6 und 9. Die gesuchte Anzahl ist also um 1 größer als ein gemeinsames Vielfaches.
    TippBestimme zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache, addiere dann den Rest und prüfe die Bedingung aus dem Text.
  2. 2Wir zerlegen die Zahlen in ein Produkt von Primzahlen
    5=5
    6=2 · 3
    9=3 · 3=32
    TippWir dividieren nacheinander durch die kleinsten Primzahlen (2, 3, 5, 7, …), bis 1 übrig bleibt.
  3. 3Kleinstes gemeinsames Vielfaches
    Jede Primzahl nehmen wir so oft, wie sie in der Zerlegung vorkommt, in der sie am häufigsten steht:2 · 3 · 3 · 5
    kgV(5, 6, 9) =2 · 3 · 3 · 5=90
    TippDas Vielfache muss die ganze Zerlegung jeder Zahl enthalten – deshalb nehmen wir jede Primzahl mit dem größten Exponenten.
  4. 4Wir addieren den Rest und prüfen die Bedingung
    5<90+1=91<120
    Die Bedingung mit dem Rest würde auch die Zahl 1 allein erfüllen (keine ganze Gruppe), aber laut Aufgabe sind es mehr als 5.
    Nächste Möglichkeit:2 · 90 + 1=181– das ist nicht mehr weniger als 120.
    91=5 · 18 + 1
    91=6 · 15 + 1
    91=9 · 10 + 1
    TippProbe: Nach dem Aufteilen in jede Gruppengröße muss wirklich die angegebene Anzahl übrig bleiben.
Ergebnis: 91

Aufgabe 3

Textaufgabe

In einer Schachtel sind mehr als 55 und weniger als 130 Murmeln. Wenn wir sie zu 8, zu 10 oder zu 12 aufteilen, bleiben 4 Murmeln übrig. Wie viele Murmeln sind in der Schachtel?

Lösung Schritt für Schritt
  1. 1Was suchen wir?
    Bliebe nichts übrig, wäre die Anzahl ein gemeinsames Vielfaches von 8, 10 und 12. Die gesuchte Anzahl ist also um 4 größer als ein gemeinsames Vielfaches.
    TippBestimme zuerst das kleinste gemeinsame Vielfache, addiere dann den Rest und prüfe die Bedingung aus dem Text.
  2. 2Wir zerlegen die Zahlen in ein Produkt von Primzahlen
    8=2 · 2 · 2=23
    10=2 · 5
    12=2 · 2 · 3=22·3
    TippWir dividieren nacheinander durch die kleinsten Primzahlen (2, 3, 5, 7, …), bis 1 übrig bleibt.
  3. 3Kleinstes gemeinsames Vielfaches
    Jede Primzahl nehmen wir so oft, wie sie in der Zerlegung vorkommt, in der sie am häufigsten steht:2 · 2 · 2 · 3 · 5
    kgV(8, 10, 12) =2 · 2 · 2 · 3 · 5=120
    TippDas Vielfache muss die ganze Zerlegung jeder Zahl enthalten – deshalb nehmen wir jede Primzahl mit dem größten Exponenten.
  4. 4Wir addieren den Rest und prüfen die Bedingung
    55<120+4=124<130
    Die Bedingung mit dem Rest würde auch die Zahl 4 allein erfüllen (keine ganze Gruppe), aber laut Aufgabe sind es mehr als 55.
    Nächste Möglichkeit:2 · 120 + 4=244– das ist nicht mehr weniger als 130.
    124=8 · 15 + 4
    124=10 · 12 + 4
    124=12 · 10 + 4
    TippProbe: Nach dem Aufteilen in jede Gruppengröße muss wirklich die angegebene Anzahl übrig bleiben.
Ergebnis: 124

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